Pertemuan 4 · Bab 2 · Fisika 2 Satuan Kredit Semester · Program Studi Sarjana Terapan Manajemen Proyek Konstruksi
Operasi Vektor dan Resultan Vektor
Pertemuan 4 melanjutkan fondasi Pertemuan 3. Setelah mahasiswa mampu merepresentasikan satu vektor dan menentukan komponennya, sekarang dipelajari operasi antarvektor : penjumlahan, pengurangan, resultan beberapa vektor, perkalian skalar (perkalian skalar), dan perkalian vektor (perkalian vektor).
Penjumlahan Pengurangan Resultan Vektor Perkalian Skalar Perkalian Vektor 340 menit
Batas Pertemuan 4: seluruh pembahasan tetap pada matematika dan geometri vektor.
Konsep gaya baru dimulai pada Pertemuan 5.
Tujuan belajar Pertemuan 4
Pertemuan 4 memiliki 6 tujuan utama yang seluruhnya merupakan operasi vektor.
Notasi baku Pertemuan 4 A = Ax i + Ay j + Az k .
Notasi koordinat (Ax , Ay , Az )
mempunyai arti yang sama. Contoh:
A = (1, −3, 2) ≡ i − 3j + 2k .
Prasyarat: representasi vektor, komponen x dan y, kuadran, besar–arah,
serta pengenalan bentuk Kartesian i, j, k dari Pertemuan 3.
Peta materi Pertemuan 4
Komponen → Penjumlahan/Pengurangan → Resultan → Perkalian Skalar → Perkalian Vektor → Interpretasi
Penjumlahan vektor memperhitungkan besar dan arah . Hasil A + B adalah vektor baru.
1.1 Metode ujung ke pangkal
1.2 Metode komponen
A + B = (Aₓ+Bₓ)i + (Aᵧ+Bᵧ)j
Contoh utama dari lampiran
A = i − 3j + 2k
B = i + j
Langkah 1 — jumlahkan komponen i 1 + 1 = 2
Langkah 2 — jumlahkan komponen j −3 + 1 = −2
Langkah 3 — jumlahkan komponen k 2 + 0 = 2
A + B = 2i − 2j + 2k
|A+B| = √(2² + (−2)² + 2²) = √12 = 2√3
Jawaban akhir: A + B = 2i − 2j + 2k dan |A+B| = 2√3.
Latihan Tujuan Pembelajaran 1 — sesuai lampiran
a = 4i + 2j + 3k
b = 2i − j + 4k
Tentukan: (a) a + b dan (b) |a + b|.
a+b = (4+2)i + (2−1)j + (3+4)k = 6i + j + 7k
|a+b| = √(6²+1²+7²) = √86
Jawaban akhir: a+b = 6i + j + 7k dan |a+b| = √86.
A − B = A + (−B)
Vektor −B memiliki besar sama dengan B tetapi arah berlawanan 180°.
A − B = (Aₓ−Bₓ)i + (Aᵧ−Bᵧ)j
A = i − 3j + 2k
B = i + j
A − B = (1−1)i + (−3−1)j + (2−0)k
A − B = −4j + 2k.
Kesalahan umum: mengurangi magnitudo A dan B tanpa memperhatikan arah. Pengurangan vektor harus dilakukan pada vektornya atau komponennya.
Latihan Tujuan Pembelajaran 2
a = 4i + 2j + 3k
b = 2i − j + 4k
Tentukan a − b.
a−b = (4−2)i + [2−(−1)]j + (3−4)k
a − b = 2i + 3j − k.
Untuk beberapa vektor, jumlahkan seluruh komponen x dan y.
Rₓ = ΣAₓ | Rᵧ = ΣAᵧ
R = √(Rₓ²+Rᵧ²) | θ = atan2(Rᵧ,Rₓ)
3.1 Contoh perpindahan
Contoh resultan dua vektor dari lampiran
a = 4i + 2j + 3k
b = 2i − j + 4k
Komponen i Rx = 4 + 2 = 6
Komponen j Ry = 2 − 1 = 1
Komponen k Rz = 3 + 4 = 7
R = 6i + j + 7k
|R| = √(6²+1²+7²) = √86
Resultan: R = 6i + j + 7k dengan besar |R| = √86.
3.2 Kasus simetri dan pembatalan
Komponen yang sama besar tetapi berlawanan arah dapat saling membatalkan. Ini menjelaskan mengapa besar resultan tidak sama dengan jumlah magnitudo.
Latihan Tujuan Pembelajaran 3
A = i − 3j + 2k
B = i + j
Tentukan R = A+B dan |R|.
R = 2i − 2j + 2k
|R| = √12 = 2√3
Jawaban akhir: R = 2i − 2j + 2k dan |R| = 2√3.
A·B = AB cos θ
A·B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Perkalian skalar menghasilkan skalar . Ia dapat digunakan untuk mengukur keterarahan/proyeksi dan menentukan sudut antara dua vektor.
Kondisi Makna A·B > 0 Sudut lancip A·B = 0 Tegak lurus (untuk vektor nonnol) A·B < 0 Sudut tumpul
cos θ = (A·B)/(|A||B|)
Contoh perkalian skalar dari lampiran
a = 5i + 5j + 10k
b = 4i + 2j + 6k
Komponen i (5)(4) = 20
Komponen j (5)(2) = 10
Komponen k (10)(6) = 60
a · b = 20 + 10 + 60 = 90
Jawaban akhir: a · b = 90 (skalar).
Latihan Tujuan Pembelajaran 4 — sesuai lampiran
A = 2i + 2j − 3k
B = −2i + 3j − 4k
Hitung A · B.
A·B = (2)(−2) + (2)(3) + (−3)(−4)
A·B = −4 + 6 + 12 = 14
Jawaban akhir: A · B = 14.
|A×B| = AB sin θ
A×B =
(Ay Bz − Az By )i +
(Az Bx − Ax Bz )j +
(Ax By − Ay Bx )k
Perkalian vektor menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap bidang A dan B. Arah ditentukan dengan kaidah tangan kanan .
Sifat Hasil A×B arah normal menurut kaidah tangan kanan B×A −(A×B) A sejajar B A×B = 0 A tegak lurus B |A×B| = AB
Contoh perkalian vektor dari lampiran
a = 5i + 5j + 10k
b = 4i + 2j + 6k
a × b =
i[(5)(6) − (10)(2)]
− j[(5)(6) − (10)(4)]
+ k[(5)(2) − (5)(4)]
Komponen i 30 − 20 = 10
Komponen j −(30 − 40) = +10
Komponen k 10 − 20 = −10
a × b = 10i + 10j − 10k
|a×b| = √(10²+10²+(−10)²) = 10√3
Jawaban akhir: a × b = 10i + 10j − 10k dan |a×b| = 10√3.
Makna geometris: |A×B| sama dengan luas jajargenjang yang dibentuk A dan B. Ini memungkinkan perkalian vektor dipahami tanpa memperkenalkan konsep gaya.
Latihan Tujuan Pembelajaran 5 — sesuai lampiran
A = 2i + 3j + 4k
B = i − 2j + 3k
Hitung A × B.
A×B =
i[(3)(3)−(4)(−2)]
− j[(2)(3)−(4)(1)]
+ k[(2)(−2)−(3)(1)]
A × B = 17i − 2j − 7k.
Operasi Notasi Jenis hasil Pertanyaan yang dijawab
Penjumlahan A+B Vektor Apa vektor gabungannya? Pengurangan A−B Vektor Apa perbedaan vektornya? Perkalian skalar A·B Skalar Seberapa searah / berapa sudutnya? Perkalian vektor A×B Vektor Seberapa besar efek tegak lurus dan ke arah normal mana?
Urutan berpikir: pahami komponen → jumlah/kurangi → tentukan resultan → baru gunakan perkalian skalar/perkalian vektor sesuai kebutuhan. Jangan memilih rumus hanya karena bentuk angkanya tampak cocok.
Latihan integrasi Tujuan Pembelajaran 6 — sesuai lampiran
A = 2i + 2j − 3k
B = −2i + 3j − 4k
Tentukan: (a) A · B dan (b) A × B.
a) Perkalian skalar
A·B = (2)(−2)+(2)(3)+(−3)(−4) = 14
b) Perkalian vektor
A×B =
i[(2)(−4)−(−3)(3)]
− j[(2)(−4)−(−3)(−2)]
+ k[(2)(3)−(2)(−2)]
A×B = i + 14j + 10k
Jawaban akhir: A·B = 14 dan A×B = i + 14j + 10k.
Latihan Soal sesuai Lampiran — Format Baku i, j, k
Semua soal pada lampiran ditulis ulang ke bentuk vektor satuan agar notasinya konsisten.
Bagian A — Penjumlahan vektor dan besar resultan
Soal 1
A = i − 3j + 2k
B = i + j
Tentukan: (a) A+B dan (b) |A+B|.
A+B = 2i − 2j + 2k
|A+B| = √12 = 2√3
A+B = 2i − 2j + 2k; |A+B| = 2√3.
Soal 2
a = 4i + 2j + 3k
b = 2i − j + 4k
Tentukan: (a) a+b dan (b) |a+b|.
a+b = 6i + j + 7k
|a+b| = √86
a+b = 6i + j + 7k; |a+b| = √86.
Bagian B — Perkalian skalar dan perkalian vektor
Soal 3
a = 5i + 5j + 10k
b = 4i + 2j + 6k
Tentukan a·b, a×b, dan |a×b|.
a·b = 90
a×b = 10i + 10j − 10k
|a×b| = 10√3
a·b = 90; a×b = 10i + 10j − 10k; |a×b| = 10√3.
Soal 4
A = 2i + 2j − 3k
B = −2i + 3j − 4k
Tentukan A·B, A×B, dan |A×B|.
A·B = 14
A×B = i + 14j + 10k
|A×B| = √297 = 3√33
A·B = 14; A×B = i + 14j + 10k; |A×B| = 3√33.
Soal 5
A = 2i + 3j + 4k
B = i − 2j + 3k
Tentukan A·B, A×B, dan |A×B|.
A·B = 8
A×B = 17i − 2j − 7k
|A×B| = √342 = 3√38
A·B = 8; A×B = 17i − 2j − 7k; |A×B| = 3√38.
Rangkuman Pertemuan 4
Penjumlahan & Pengurangan A±B dilakukan pada komponen yang sejenis.
Resultan Rₓ=ΣAₓ, Rᵧ=ΣAᵧ, lalu R dan arah ditentukan dari keduanya.
Perkalian Skalar A·B menghasilkan skalar dan berkaitan dengan cos θ.
Perkalian Vektor A×B menghasilkan vektor normal dan berkaitan dengan sin θ.
Kalimat kunci Pertemuan 4: semua operasi dimulai dari makna arah dan komponen, bukan dari menghafal rumus.
Notasi konsisten:
A = Ax i + Ay j + Az k.
Bentuk koordinat (Ax , Ay , Az ) hanya digunakan untuk menjelaskan ekuivalensi notasi.
Beban belajar
Tatap muka / terbimbing 100 menit Penugasan terstruktur 120 menit Belajar mandiri 120 menit Total Pertemuan 4 340 menit
Tugas belajar Pertemuan 4
Kerjakan ulang seluruh soal lampiran dengan format i, j, k . Untuk setiap soal, tuliskan:
vektor yang diketahui;
operasi yang digunakan;
substitusi komponen;
hasil vektor atau skalar;
besar vektor hasil bila diminta.
Standar penulisan: gunakan i, j, k secara konsisten dari awal sampai jawaban akhir.
Checklist penguasaan Pertemuan 4
0 dari 10 indikator tercapai 0%
Checklist ini tersimpan pada browser/perangkat dan bukan progres atau nilai resmi sistem perkuliahan.
Jembatan ke Pertemuan 5
Setelah operasi vektor dikuasai, Pertemuan 5 memperkenalkan
gaya sebagai besaran vektor, Hukum I Newton, dan Diagram Benda Bebas .
Pertemuan 4: operasi vektor → Pertemuan 5: gaya + Hukum I Newton + Diagram Benda Bebas